Lógica Matemática : febrero 2015

martes, 24 de febrero de 2015

Conjunción Lógica

Trabajado Por: Yoselin Castillo

En razonamiento formal, una conjunción lógica (

\and

) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en cierto sólo si ambas proposiciones son ciertas, y en falso de cualquier otra forma. Existen diferentes contextos dónde se utiliza la conjunción lógica.

En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección (

\cap

). En álgebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio ( · ).

En electrónica, una puerta AND es una puerta lógica que implementa la conjunción lógica.

Conjunción $\and$
Diagrama de Venn de $\scriptstyle A \and B$	Diagrama de Venn de $\scriptstyle A \and B \and C$
Nomenclatura
Lenguaje formal	A y B
Operador booleano	·
Operador de conjuntos	$\cap$
Puerta Lógica
$\scriptstyle A \and B$
Tabla de la Verdad
$\begin{array}{\|c\|c\|\|c\|} \hline a & b & a \and b \\ \hline F & F & F \\ C & F & F \\ F & C & F \\ C & C & C \\ \hline \end{array}$

Definición

Dado un conjunto universal U formado por los elementos falso: F y cierto: C:

U = \{F, V\}

y una operación binaria interna conjunción

\land

, que representaremos

(U, \land )

\begin{array}{rccl} \land : & \; U \times U & \to & U \\ & (a,b) & \to & c = a \land b \end{array}

por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.

\forall (a,b) \in U \times U \, : \quad \exists ! c \in U \; / \quad c = a \land b

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b.

CONECTORES LÓGICOS Y TABLA DE LA VERDAD

Trabajado Por: Leyda Pineda

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:

NEGACIÓN
Palabras conectivas: no, no es cierto que, no es verdad que, nunca, carece de, sin, etc.
Prefijos negativos: a, des, in, i.
Condición: lo V se transforma en F (y al revés) P -p

CONJUNCIÓN: .
Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además, etc.
Condición: es V cuando ambas son V.

Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente en la batería"
Sean:
p= tiene gasolina el tanque
q = tiene corriente la batería
r = el auto enciende = p ^ q
La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el auto no arrancará.

DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Una, otra o ambas a la vez. (y/o)

Palabras conectivas: o

Condición: es F cuando las dos son F.

Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene un pase"
Sean:
p= compra boleto
q = obtiene un pase
r = una persona entra al cine = p v q
La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se puede entrar al cine.

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
O una o la otra (NUNCA ambas juntas)
Palabras conectivas:
O ......... o .....
O bien .... o bien
.... a menos que ....
.... salvo que ......
Condición: es V cuando uno es V y el otro es F.

LA CONDICIONAL

Palabras conectivas: Si ..p.. entonces ..q.. Si ..p.. , ..q.. Cuando .......p............. , ......q.. Siempre ......p............. , ....q.. Es condición suficiente..p..para que..q.. .........q........ sólo si ......p....... Es condición necesaria...q..para que..p..

Condición: es falsa sólo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es F.Ejemplo:
Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe

LA BICONDICIONAL

Palabras conectivas: si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición suficiente y necesaria para; etc.
Condición: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de verdad".

Conectores Lógicos y Tabla De La Verdad

Trabajado Por: Leyda Pineda

CONECTORES LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD

DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Una, otra o ambas a la vez. (y/o)

Palabras conectivas: o

Condición: es F cuando las dos son F.

LA CONDICIONAL

LA BICONDICIONAL

Lógica

La ciencia que se basa en las leyes, modalidades y formas del conocimiento científico se conoce bajo el nombre de lógica. Se trata de una ciencia de carácter formal que carece de contenido ya que hace foco en el estudio de las alternativas válidas de inferencia. Es decir, propone estudiar los métodos y los principios adecuados para identificar al razonamiento correcto frente al que no lo es.

La etimología permite saber que el término ‘lógica’ tiene su origen en el vocablo latín logĭca, que a su vez deriva del griego logikós (de logos, “razón” o “estudio”). El filósofo griego Aristóteles, cuentan los expertos en cuestiones históricas, fue pionero al emplear la noción para nombrar el chequeo de los argumentos como indicadores de la verdad dentro de la ciencia, y al presentar al silogismo como argumento válido.

La lógica natural es la destreza natural para razonar sin apelar a la ciencia. La denominada lógica borrosa o difusa, en cambio, es aquella que contempla una determinada incertidumbre al analizar el carácter verídico o falso de las proposiciones, a semejanza del raciocinio propio del ser humano.

Por otra parte, se caracteriza por emplear un lenguaje simbólico artificial y realizar una abstracción de los contenidos.

Trabajado Por: Raul carriòn

lunes, 23 de febrero de 2015

¿Que es la Lógica Matemática?

Trabajado Por: Ricardo Rivas

La lógica matemática es una parte de la lógica y la matemática, que consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.

Concepto de lógica matemática

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las propiedades meta lógicas de los mismos.

En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado, la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, de clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas formales. La teoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta.

Trabajado Por: Carlos Moreno

Leyes notables en lógica

Entre las reglas de la lógica proposicional clásica algunas de la más notables son listadas a continuación:

Ley de doble negación
Leyes de idempotencia
Leyes asociativas
Leyes conmutativas
Leyes distributivas
Leyes de De Morgan

Otras leyes como el principio del tercero excluido son admisibles en lógica clásica, pero en lógica intuicionista y con fines a sus aplicaciones matemáticas no existe un equivalente del tercero excluido, por ejemplo.

Negación	Conjunción	Disyunción

$\begin{array}{c||c} \phi & \neg \phi \\ \hline V & F \\ F & V \\ \end{array}$ $\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \and \psi \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \\ \end{array}$ $\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \or \psi \\ \hline V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \end{array}$

Condicional	Bicondicional	Disyunción excluyente

$\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \to \psi \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \\ \end{array}$ $\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \leftrightarrow \psi \\ \hline V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \\ \end{array}$ $\begin{array}{c|c||c} \phi & \psi & \phi \nleftrightarrow \psi \\ \hline V & V & F \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \\ \end{array}$

A continuación presento un cuadro con las leyes y equivalencia

Leyes	Equivalencias
Leyes de identidad	p∧T≡p p∨F≡p
Leyes de dominación	p∨T≡T p∧F≡F
Leyes de idempotencia	p∨p≡p p∧p≡p
Leyes de doble negación	﹁(﹁p)≡p
Leyes de conmutación	p∨q≡q∨p p∧q≡q∧p
Leyes de asociación	(p∨q)∨r≡p∨(q∨r) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r)
Leyes de distribución	p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)
Leyes de Morgan	﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q ﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q
Leyes de absorción	p∨(p∧q)≡p p∧(p∨q)≡p
Leyes de negación	p∨﹁p≡T p∧﹁p≡F

Lógica Matemática

Páginas